三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta <\pi }$とする．

${\displaystyle \sqrt{3}tan\theta =1}$

■答

${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

■解説

${\displaystyle \tan \theta }$の値は，単位円 を用いた定義では

となる( ここ を参照)．

${\displaystyle x=1}$，${\displaystyle x=-1}$の補助線を2本描く.

${\displaystyle \tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}}$より，座標${\displaystyle \left(1,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$ を点${\displaystyle \text{P}}$とし，点${\displaystyle \text{P}}$の原点に関して対称な点を点${\displaystyle \text{Q}}$とする.

点${\displaystyle \text{P}}$，${\displaystyle \text{Q}}$点から${\displaystyle x}$軸に垂線を下ろし，それぞれの足を点${\displaystyle \text{R}}$，点${\displaystyle \text{S}}$とする．

${\displaystyle \text{OR}=1}$，${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$より， 基本的な三角形 と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}={\theta }_1=\frac{1}{6}\pi }$

となる．

${\displaystyle 0\leqq \theta <\pi }$なので(円周上の赤線)， ${\displaystyle {\theta }_2}$は範囲外となる．

よって，求める角

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{6}\pi }$

はとなる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日