三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

${\displaystyle 2\sin \frac{1}{2}\left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=1}$　${\displaystyle \left[0\leqq \theta <2\pi \right]}$

■答

${\displaystyle \frac{7}{6}\pi }$

■解説

${\displaystyle \frac{1}{2}\left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=\alpha }$　･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle 2\sin \alpha =1}$

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{1}{2}}$　･･････(2)

となる．

(1)の関係と${\displaystyle \theta }$ の範囲から，${\displaystyle \alpha }$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta +\frac{\pi }{2}<\frac{5}{2}\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \frac{1}{2}\left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)<\frac{5}{4}\pi }$

よって，${\displaystyle \alpha }$の範囲は

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \alpha <\frac{5}{4}\pi }$　･･････(3)

となる．

(2)を満たす${\displaystyle \alpha }$ を求める(図の${\displaystyle {\alpha }_1}$ ，${\displaystyle {\alpha }_2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle {\alpha }_1=\frac{\pi }{6},{\alpha }_2=\frac{5}{6}\pi }$

(3)より${\displaystyle {\alpha }_1}$は範囲外であり，(1)より${\displaystyle \theta =2\alpha -\frac{\pi }{2}}$ なので，求める角${\displaystyle \theta }$は

${\displaystyle \theta =2\times \frac{5}{6}\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{7}{6}\pi }$

となる．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年4月12日