三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

${\displaystyle 2\cos \left(3\theta -\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{3}}$ ${\displaystyle \left[0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\right]}$

■解説動画

◆三角関数の動画一覧のページへ

■答

${\displaystyle \frac{13}{36}\pi ,\frac{17}{36}\pi }$

■ヒント

${\displaystyle 3\theta -\frac{\pi }{4}}$ を ${\displaystyle \alpha }$ と置き換えて計算を行う．

$\cos \theta =c$ の解き方

■解説

${\displaystyle 3\theta -\frac{\pi }{4}=\alpha }$ ･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle 2\cos \alpha =-\sqrt{3}}$

${\displaystyle \cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と ${\displaystyle \theta }$ の範囲から， ${\displaystyle \alpha }$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle 0\leqq 3\theta \leqq \frac{3}{2}\pi }$

${\displaystyle -\frac{\pi }{4}\leqq 3\theta -\frac{\pi }{4}\leqq \frac{5}{4}\pi }$

よって， ${\displaystyle \alpha }$ の範囲は

${\displaystyle -\frac{\pi }{4}\leqq \alpha \leqq \frac{5}{4}\pi }$ ･･････(2)

となる．

(2)を満たす ${\displaystyle \alpha }$ を求める(図の ${\displaystyle {\alpha }_1}$ ， ${\displaystyle {\alpha }_2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle {\alpha }_1=\frac{5}{6}\pi ,{\alpha }_2=\frac{7}{6}\pi }$

(3)より，どちらも(2)の範囲内であり， ${\displaystyle \theta =\frac{1}{3}\alpha +\frac{\pi }{12}}$ なので，求める角をそれぞれ ${\displaystyle {\theta }_1,{\theta }_2}$ とすると

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{3}\times \frac{5}{6}\pi +\frac{1}{12}\pi =\frac{13}{36}\pi }$

${\displaystyle {\theta }_2=\frac{1}{3}\times \frac{7}{6}\pi +\frac{1}{12}\pi =\frac{17}{36}\pi }$

となる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>問題演習>>三角関数の方程式に関する問題

学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月12日