三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle 2{sin}^2\theta -sin\theta -1=0}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi ,\frac{1}{2}\pi }$

■解説

${\displaystyle sin\theta =t}$ とおくと与式は次のようになる．

${\displaystyle 2t^2-t-1=0}$ ･･････(1)

これを因数分解すると次のようになる．

${\displaystyle \left(2t+1\right)(t-1)=0}$ ･･････(2)

(2)の方程式の解は

${\displaystyle 2t+1=0}$ ， ${\displaystyle t-1=0}$

より

${\displaystyle t=-\frac{1}{2},1}$

${\displaystyle t}$ を元に戻すと

${\displaystyle sin\theta =-\frac{1}{2}}$ ⇒ 解

${\displaystyle sin\theta =1}$ ⇒ 解

この2つの方程式の解を求める．

${\displaystyle sin\theta =-\frac{1}{2}}$ のとき

${\displaystyle \theta =\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

${\displaystyle sin\theta =1}$ のとき

${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}\pi }$

　

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最終更新日： 2025年3月1日