三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle \sqrt{2}{\cos }^2\theta -(\sqrt{2}+1)\cos \theta +1=0}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi ,0}$

■解説

${\displaystyle \cos \theta =t}$とおくと式は次のような2次方程式になる．

${\displaystyle \sqrt{2}{t}^2-(\sqrt{2}+1)t+1=0}$　･･････(1)

これを因数分解すると次のようになる．

${\displaystyle (\sqrt{2}t-1)(t-1)=0}$　･･････(2)

(2)の方程式より

${\displaystyle \sqrt{2}t=1}$ ， ${\displaystyle t=1}$

が得られる．${\displaystyle t}$ を元に戻すと

${\displaystyle \sqrt{2}\cos \theta =1}$ ， ${\displaystyle \cos \theta =1}$

となる.この2つの方程式を解く

${\displaystyle \sqrt{2}\cos \theta =1}$，${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$ 　⇒ 解

${\displaystyle \cos \theta =1}$　⇒ 解

よって

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき

${\displaystyle \frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

${\displaystyle \cos \theta =1}$のとき

${\displaystyle 0}$

　

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最終更新日： 2023年4月12日