三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle 2\sin \theta \tan \theta =-3}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{2}{3}\pi ，\frac{4}{3}\pi }$

■ヒント

三角関数の関係式 を用いて与式をcos に統一して計算を行う．

■解説

公式${\displaystyle \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$ を用いて式を次のように変形する．

${\displaystyle 2\left(\sin \theta \frac{\sin \theta }{\cos \theta }\right)=-3}$

${\displaystyle 2\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }=-3}$

${\displaystyle 2{\sin }^2\theta =-3\cos \theta }$

公式${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$を用いて式を${\displaystyle \cos }$ に統一する．

${\displaystyle 2(1-{\cos }^2\theta )=-3\cos \theta }$

${\displaystyle (2-2{\cos }^2\theta )=-3\cos \theta }$

${\displaystyle -2{\cos }^2\theta +3\cos \theta +2=0}$

${\displaystyle 2{\cos }^2\theta -3\cos \theta -2=0}$

${\displaystyle cos\theta =t}$とおくと式は次のような2次関数になる．

${\displaystyle 2t^2-3t-2=0}$　･･････(1)

ただし，${\displaystyle -1\leqq \cos \theta \leqq 1}$ より，${\displaystyle -1\leqq t\leqq 1}$

これを因数分解して解くと次のようになる．

${\displaystyle (2t+1)(t-2)=0}$

${\displaystyle -1\leqq t\leqq 1}$より

${\displaystyle t-2<0}$

よって

${\displaystyle 2t+1=0}$ ，${\displaystyle t=-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle t}$ を元に戻すと

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{2}}$

となる．この方程式を解く．

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{2}}$　⇒ 解

よって

${\displaystyle \theta =\frac{2}{3}\pi ，\frac{4}{3}\pi }$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>三角関数の問題>>三角関数の方程式>>三角関数の方程式に関する問題

最終更新日： 2023年4月12日