三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle 2\sin \theta \tan \theta =-3}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \theta =\frac{2}{3}\pi ，\frac{4}{3}\pi }$

■ヒント

三角関数の関係式 を用いて与式をcos に統一して計算を行う．

■解説

公式 ${\displaystyle \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$ を用いて式を次のように変形する．

${\displaystyle 2\left(\sin \theta \frac{\sin \theta }{\cos \theta }\right)=-3}$

${\displaystyle 2\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }=-3}$

${\displaystyle 2{\sin }^2\theta =-3\cos \theta }$

公式 ${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$ を用いて式を ${\displaystyle \cos }$ に統一する．

${\displaystyle 2(1-{\cos }^2\theta )=-3\cos \theta }$

${\displaystyle (2-2{\cos }^2\theta )=-3\cos \theta }$

${\displaystyle -2{\cos }^2\theta +3\cos \theta +2=0}$

${\displaystyle 2{\cos }^2\theta -3\cos \theta -2=0}$

${\displaystyle cos\theta =t}$ とおくと式は次のような2次関数になる．

${\displaystyle 2t^2-3t-2=0}$ ･･････(1)

ただし， ${\displaystyle -1\leqq \cos \theta \leqq 1}$ より， ${\displaystyle -1\leqq t\leqq 1}$

これを因数分解して解くと次のようになる．

${\displaystyle (2t+1)(t-2)=0}$

${\displaystyle -1\leqq t\leqq 1}$ より

${\displaystyle t-2<0}$

よって

${\displaystyle 2t+1=0}$ ， ${\displaystyle t=-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle t}$ を元に戻すと

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{2}}$

となる．この方程式を解く．

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{2}}$ ⇒ 解

よって

${\displaystyle \theta =\frac{2}{3}\pi ，\frac{4}{3}\pi }$

　

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最終更新日： 2025年4月18日