三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle 2\sin \left(\theta +\frac{1}{3}\pi \right)=1}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}\pi ，\frac{11}{6}\pi }$

■ヒント

${\displaystyle \theta +\frac{1}{3}\pi }$を${\displaystyle t}$と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle \theta +\frac{1}{3}\pi =t}$　･･････(1)

と置くと，与式は

${\displaystyle 2\sin t=1}$

${\displaystyle \sin t=\frac{1}{2}}$　･･････(2)

となる．

(1)より，${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$

${\displaystyle 0+\frac{1}{3}\pi \leqq \theta +\frac{1}{3}\pi <2\pi +\frac{1}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi \leqq \theta +\frac{1}{3}\pi <\frac{7}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi \leqq t<\frac{7}{3}\pi }$

${\displaystyle t}$の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle t}$ は

${\displaystyle t=\frac{5}{6}\pi ，\frac{1}{6}\pi +2\pi }$

${\displaystyle t=\frac{5}{6}\pi ，\frac{13}{6}\pi }$

${\displaystyle t}$ を${\displaystyle \theta }$ に戻す．

${\displaystyle \theta +\frac{1}{3}\pi =\frac{5}{6}\pi ，\frac{13}{6}\pi }$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}\pi ，\frac{11}{6}\pi }$

　

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最終更新日： 2023年4月12日