不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle 2\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x}+C}$　　${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

分母の有理化 より

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}}$${\displaystyle =\frac{1\times \left(\sqrt{a}\mp \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}\mp \sqrt{b}\right)}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{a}\mp \sqrt{b}}{a-b}}$ 　 　

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

方針より，${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}$ の分母・分子に 　${\displaystyle \sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$ をかけ，有理化すると

${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}$${\displaystyle =\frac{3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}) }}$ 　　

${\displaystyle =\frac{3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{x+1-x}}$ 　　

${\displaystyle =3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}$          ･･････${\displaystyle \left(\alpha \right)}$

となる．よって，${\displaystyle \left(\alpha \right)}$ を与式に代入して積分すると

与式${\displaystyle =\int 3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)dx}$ 　

${\displaystyle =3\left(\int \sqrt{x+1}dx+\int \sqrt{x}dx\right)}$ 　　

（${\displaystyle 3}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =3\left(\int {\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}dx+\int x^{\frac{1}{2}}dx\right)}$ 　　

（指数に関する定義を参照）

${\displaystyle =3\left(\frac{2}{3}{\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right)+C}$ 　　　 　　　

（ヒントの公式にあてはめる）

${\displaystyle =2\sqrt{{\left(x+1\right)}^3}+2\sqrt{x^3}+C}$ 　 　

${\displaystyle =2\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x}+C}$ 　　 　

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle 2\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x}+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle \int \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx}$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日