不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {tan}^{2}2xdx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}tan2x-x+C}$ （ C は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ ･･････(1)

${\displaystyle \int {sec}^{2}xdx=tanx+C}$ ･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {tan}^{2}x+1=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$ （三角関数の相互関係 を参照）

より

${\displaystyle {tan}^{2}x=\frac{1}{{cos}^{2}x}-1}$

となる．よって

${\displaystyle {tan}^{2}2x=\frac{1}{{cos}^{2}2x}-1}$

が得られる．また

${\displaystyle {sec}^{2}x=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$

より，公式(2)は

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=tanx+C}$ ･･････(3)

となる．

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}2x}-1\right)}dx}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{{cos}^{2}2x}dx-\int dx}$

(不定積分の基本式の ${\displaystyle 2}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}tan2x-x+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数) 　　

（(3)とヒントの公式(1)にあてはめた）

●別解

${\displaystyle \tan 2x=t}$ とおく．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{\cos }^{2}2x}\cdot {\left(2x\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle =\frac{2}{{\cos }^{2}2x}}$ ${\displaystyle =2\left(1+{\tan }^{2}x\right)}$ ${\displaystyle =2\left(1+t^2\right)}$（参考：${\displaystyle 1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ ）

${\displaystyle \to dx=\frac{1}{2\left(1+t^2\right)}dt}$

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t^2\cdot \frac{1}{2\left(1+t^2\right)}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{t^2}{1+t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1+t^2-1}{1+t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(t-{\tan }^{-1}t\right)+C}$

（${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx}}$ の公式を用いた）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\tan 2x-{\tan }^{-1}\left(\tan 2x\right)\right\}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\tan 2x-2x\right)+C}$

（${\displaystyle {\tan }^{-1}\left(\tan 2x\right)=y}$ とおと，${\displaystyle \tan y=\tan 2x}$ ．よって${\displaystyle y=2x}$ ）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\tan 2x-x+C}$

　

■確認問題

求まった答え　 ${\displaystyle \frac{1}{2}tan2x-x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle {tan}^{2}2x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2025年9月15日