不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {tan}^{2}2xdx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}tan2x-x+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　･･････(1)

${\displaystyle \int {sec}^{2}xdx=tanx+C}$　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {tan}^{2}x+1=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$　　（三角関数の相互関係 を参照）

より

${\displaystyle {tan}^{2}x=\frac{1}{{cos}^{2}x}-1}$

となる．よって

${\displaystyle {tan}^{2}2x=\frac{1}{{cos}^{2}2x}-1}$

が得られる．また

${\displaystyle {sec}^{2}x=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$

より，公式(2)は

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=tanx+C}$　･･････(3)

となる．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}2x}-1\right)}dx}$ 　

${\displaystyle =\int \frac{1}{{cos}^{2}2x}dx-\int dx}$ 　　

(不定積分の基本式の${\displaystyle 2}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}tan2x-x+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数) 　　

（(3)とヒントの公式(1)にあてはめた）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{2}tan2x-x+C}$　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle {tan}^{2}2x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年9月30日