不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$ 　

■ヒント

2倍角の公式

三角関数の積分より

${\displaystyle \int sinxdx=-cosx+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■答

2倍角の公式より

${\displaystyle sinxcosx=\frac{1}{2}sin2x}$　･･････(2)

となる．

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}sin2xdx}$ 　

（与式に(2)を代入した）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int sin2xdx}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}cos2x+C\right)}$ 　

（ヒントの公式(1)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{2}C}$ を$C$ に書き換えている）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle sinxcosx}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日