不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3x^2+2x\right)}dx}$  

■解説動画

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■答

${\displaystyle x^3+x^2+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx}$ ･･････(1)

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$ ･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3x^2+2x\right)}dx}$

(1)を用いると

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int 3x^{2}dx+{\displaystyle \int 2xdx}}}$

(2)を用いると

${\displaystyle =3{\displaystyle \int x^{2}dx+2{\displaystyle \int xdx}}}$

(3)を用いて， ${\displaystyle {\displaystyle \int x^{2}dx}}$ ,     ${\displaystyle {\displaystyle \int xdx}}$  をそれぞれ積分する．

${\displaystyle =3·\frac{1}{3}{x}^3+2·\frac{1}{2}{x}^2+C}$ （ $C$ は積分定数）

${\displaystyle =x^3+x^2+C}$

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最終更新日： 2025年6月10日