不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3e^x+4^x\right)dx}}$  

■答

${\displaystyle 3e^x+\frac{4^x}{\log 4}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx}$　･･････(1)

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$　･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{x}dx=e^x}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

${\displaystyle {\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{\log a}}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(4)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3e^x+4^x\right)dx}}$

(1)を用いると

${\displaystyle ={\displaystyle \int 3e^x}dx+{\displaystyle \int 4^{x}dx}}$

(2)を用いると

${\displaystyle =3{\displaystyle \int e^x}dx+{\displaystyle \int 4^{x}dx}}$

(3)，(4)を用いるて，${\displaystyle 3{\displaystyle \int e^x}dx}$ ,    ${\displaystyle {\displaystyle \int 4^x}dx}$   をそれぞれ積分する

${\displaystyle =3·e^x+\frac{4^x}{\log 4}+C}$　　（$C$は積分定数）

${\displaystyle =3e^x+\frac{4^x}{\log 4}+C}$

　

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最終更新日： 2023年11月24日