不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(2\sin x+\frac{1}{3}\cos x\right)dx}}$  

■答

${\displaystyle =-2\cos x+\frac{1}{3}\sin x+C}$ 　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(２)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx}$　･･････(1)

不定積分の基本式(１)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$　･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(4)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(2\sin x+\frac{1}{3}\cos x\right)dx}}$

(1)を用いると 　

${\displaystyle ={\displaystyle \int 2\sin xdx+{\displaystyle \int \frac{1}{3}\cos xdx}}}$

(2)を用いると

${\displaystyle =2{\displaystyle \int \sin xdx+\frac{1}{3}{\displaystyle \int \cos xdx}}}$

(3)，(4)を用いるて,${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx}}$ ，${\displaystyle {\displaystyle \int \cos xdx}}$ をそれぞれ積分すと

${\displaystyle =2\left(-\cos x\right)+\frac{1}{3}\sin x+C}$ 　　（$C$は積分定数）

${\displaystyle =-2\cos x+\frac{1}{3}\sin x+C}$

　

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最終更新日： 2024年2月15日