不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sin\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{5}cos\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の三角関数の積分より

${\displaystyle \int sinxdx=-cosx+C}$　　（$C$は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int sin\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)dx}$ 　　

${\displaystyle 5x+\frac{\pi }{3}=t}$ と置いて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=5}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{5}dt}$ 　

よって

${\displaystyle =\int sint·\frac{1}{5}dt}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{5}\int sintdt}$ 　　

（不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{5}·\left(-cost\right)+C}$ 　　

（ヒントの公式にあてはめた）

${\displaystyle =-\frac{1}{5}cost+C}$ 　　

${\displaystyle =-\frac{1}{5}cos\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+C}$ 　　

（最初に，${\displaystyle 5x+\frac{\pi }{3}=t}$　と置換したので，元に戻した）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle -\frac{1}{5}cos\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle sin\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日