不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{5x+2}dx}}$  

■答

${\displaystyle \frac{1}{5}\log \left|5x+2\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\log \left|x\right|+C}}$　　（$C$は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{5x+2}dx}}$ 

${\displaystyle 5x+2=t}$ と置いて置換積分する. （置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=5\to dx=\frac{1}{5}dt}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{5}dt}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{5}{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

(${\displaystyle \frac{1}{5}}$ が${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくるのは（不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{5}\cdot \log \left|t\right|+C}$

（ 基本となる関数の積分を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{5}\log \left|5x+2\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2023年11月24日