不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2-10x-8}{x-4}dx}}$  

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}{x}^2+2x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx}$　･･････(1)

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$　･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　(${\displaystyle \alpha }$ は${\displaystyle -1}$ 以外の実数) 　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2-10x-8}{x-4}}dx}$  

${\displaystyle \frac{3x^2-10x-8}{x-4}}$の分子の次数が分母の次数より小さくなるように，式を変形する

${\displaystyle \frac{3x^2-10x-8}{x-4}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(3x+2\right)\left(x-4\right)}{x-4}}$ ${\displaystyle =3x+2}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(3x+2\right)dx}}$  

${\displaystyle ={\displaystyle \int 3xdx+{\displaystyle \int 2dx}}}$

(項ごとに分けることが可能となるのは(1)を参照）

${\displaystyle =3{\displaystyle \int xdx+2{\displaystyle \int dx}}}$

（${\displaystyle 3,2}$ が${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくるのは(2)を参照)

${\displaystyle =3\times \frac{1}{2}{x}^2+2\times x+C}$　　（$C$は積分定数）

((3)を参照)

${\displaystyle =\frac{3}{2}{x}^2+2x+C}$

　

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最終更新日： 2024年9月30日