不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}dx}}$

■答

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)dx}\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)dx}}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　(${\displaystyle \alpha }$ は${\displaystyle -1}$ 以外の実数) 　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}dx}}$  

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}}$ の分母を有理化する．

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)}$

よって

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)}dx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left\{{\displaystyle \int \sqrt{x-1}dx+{\displaystyle \int \sqrt{x+1}dx}}\right\}}$

(項ごとに分けることが可能となるのは(1)を参照）

（積分の公式が使えるように${\displaystyle \sqrt{x-1}}$ を${\displaystyle x-1}$ の累乗の形に変形しした)

（(2)を参照）

　

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最終更新日： 2024年12月18日