不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int \frac{1}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}} d x$

■解説動画

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■答

$- \frac{1}{3} {(x - 1) \sqrt{x - 1} + (x + 1) \sqrt{x + 1}} + C$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

$\int {f (x) \pm g (x)} d x$ $= \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$ ･･････(1)

基本となる関数の積分より

$\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ ( $α$ は $- 1$ 以外の実数) 　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$\int \frac{1}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}} d x$

$\frac{1}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}$ の分母を有理化する．

$\frac{1}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}} \times \frac{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}$ $= \frac{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}{(x - 1) - (x + 1)}$

$= - \frac{1}{2} (\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})$

よって

$= - \frac{1}{2} \int (\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}) d x$

$= - \frac{1}{2} {\int \sqrt{x - 1} d x + \int \sqrt{x + 1} d x}$

(項ごとに分けることが可能となるのは(1)を参照）

$= - \frac{1}{2} {\int {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} d x + \int {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x}$

（積分の公式が使えるように $\sqrt{x - 1}$ を $x - 1$ の累乗の形に変形しした)

$= - \frac{1}{2} {\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$ （ $C$ は積分定数）

（(2)を参照）

$= - \frac{1}{3} {(x - 1) \sqrt{x - 1} + (x + 1) \sqrt{x + 1}} + C$

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最終更新日： 2025年2月21日