不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{{\cos }^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}{\left({\cos }^{-1}x\right)}^2+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$ の微分の公式

${\displaystyle {\left({\cos }^{-1}x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$　･･････(1)

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha -1}+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\cos }^{-1}x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ 　→　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-dt}$　･･････(3)

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t\cdot \left(-1\right)}dt}$ 　

（与式に${\displaystyle {\cos }^{-1}x=t}$，(3)を代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int tdt}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{t}^2+C}$ 　　

（(2)の公式を用いた）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\left({\cos }^{-1}x\right)}^2+C}$　　（$C$は積分定数）

（${\displaystyle t={\cos }^{-1}x}$ を代入した）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年6月10日