不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{{\cos }^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}{\left({\cos }^{-1}x\right)}^2+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$ の微分の公式

${\displaystyle {\left({\cos }^{-1}x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ ･･････(1)

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha -1}+C}}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\cos }^{-1}x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ →　 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-dt}$ ･･････(3)

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int t\cdot \left(-1\right)}dt}$

（与式に ${\displaystyle {\cos }^{-1}x=t}$ ，(3)を代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int tdt}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{t}^2+C}$

（(2)の公式を用いた）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\left({\cos }^{-1}x\right)}^2+C}$ （ $C$ は積分定数）

（ ${\displaystyle t={\cos }^{-1}x}$ を代入した）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年6月9日