不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3x-5\right)dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}{x}^2+5x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle {\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c{\displaystyle \int f\left(x\right)dx}}}$　　（ただし，$c$は積分定数）　･･････(1)

不定積分の基本式（2）より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}dx={\displaystyle \int f\left(x\right)dx}\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)dx}}}$　･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3x-5\right)dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle \int 3xdx-{\displaystyle \int 5dx}}}$

（(2)を適用して式を2つに分ける）

${\displaystyle =3{\displaystyle \int xdx-5{\displaystyle \int dx}}}$

（$3$，$5$が${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくる理由は(1)を参照）

${\displaystyle =3\cdot \frac{1}{1+1}{x}^2-5\cdot \frac{1}{0+1}x+C}$

（(3)を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}{x}^2-5x+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2023年11月24日