不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2xdx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}\cos 2x+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle {\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c{\displaystyle \int f\left(x\right)dx}}}$     (ただし， ${\displaystyle c}$ は定数)　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}}$ （ $C$ は積分定数） 　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2xdx}}$

${\displaystyle 2x=t}$ と置くと（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ →　 ${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \sin t\cdot \frac{1}{2}dt}}$

（ ${\displaystyle 2x=t}$ , ${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$ を与式に代入）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \sin tdt}}$

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ が ${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくる理由は(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \left(-\cos t\right)+C}$ （ $C$ は積分定数）

（(2)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cos 2x+C}$ （ $C$ は積分定数）

( ${\displaystyle t=2x}$ より変数を $t$ から $x$ 元に戻した)

　

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最終更新日： 2025年7月25日