不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

2倍角の公式より

${\displaystyle \cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1}$ ･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(2)

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C}}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

(1)より

${\displaystyle {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)}$ ･･････(4)

式変形でき，（4）を与式に代入する

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left({\displaystyle \int dx+{\displaystyle \int \cos 2xdx}}\right)}$ ･･････(5)

積分の結果(6)，(7)を(5)に代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left({\displaystyle \int dx+{\displaystyle \int \cos 2xdx}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C}$ （ $C$ は積分定数）

　

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最終更新日： 2025年6月9日