不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {sec}^2\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)dx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{5}tan\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の三角関数の積分より

${\displaystyle \int {sec}^{2}xdx=tanx+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■答

${\displaystyle \int {sec}^2\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)dx}$

${\displaystyle 5x+\frac{\pi }{3}=t}$ と置いて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=5}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{5}dt}$

よって

与式${\displaystyle =\int {sec}^{2}t·\frac{1}{5}dt}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{5}\int {sec}^{2}tdt}$ 　　

（不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{5}·tant+C}$ 　　

（ヒントの公式(1)を適用した）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{5}tan\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle {sec}^2\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)}$ に戻ることを確認しなさい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle \int {sec}^2\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)dx}$

最終更新日： 2023年11月24日