不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(e^x-2+3x\right)dx}}$

■答

${\displaystyle e^x-2x+\frac{3}{2}{x}^2}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{x}dx=e^x+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(e^x-2+3x\right)dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int e^{x}dx}-{\displaystyle \int 2dx+{\displaystyle \int 3xdx}}}$

${\displaystyle =\int e^{x}dx-2\int dx+3\int xdx}$

(不定積分の基本式より積分を分けた)

${\displaystyle =e^x-2x+3\cdot \frac{1}{1+1}{x}^{1+1}+C}$　　（$C$は積分定数）

(ヒントの式(1)，(2)を参照)

${\displaystyle =e^x-2x+\frac{3}{2}{x}^2+C}$　　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle e^x-2x+\frac{3}{2}{x}^2+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle e^x-2+3x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日