不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3}{2x-1}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}\log \left|2x-1\right|+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\log \left|x\right|+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3}{2x-1}dx}}$

${\displaystyle 2x-1=t}$とおき，置換積分を用いて計算する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{3}{t}\cdot \frac{1}{2}dt}}$

(${\displaystyle 2x-1=t}$，${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$を与式に代入した)

${\displaystyle =\frac{3}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

（${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前に数字が来るのは不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}\log \left|t\right|+C}$　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1) を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}\log \left|2x-1\right|+C}$　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=2x-1}$ より変数を$t$から$x$に戻した)

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{3}{2}\log \left|2x-1\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{3}{2x-1}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日