不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x+4}{2x^2+11x+12}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|2x+3\right|+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\log \left|x\right|+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x+4}{2x^2+11x+12}dx}}$

${\displaystyle 2x^2+11x+12=\left(x+4\right)\left(2x+3\right)}$ より

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{x+4}{\left(x+4\right)\left(2x+3\right)}}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2x+3}}dx}$

${\displaystyle 2x+3=t}$とおく置換積分法を用いて計算する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{2}dt}}$

(元の式に${\displaystyle 2x+3=t}$ を代入する)

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|t\right|+C}$　（$C$は積分定数）

(ヒントの式(1)を参照)

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|2x+3\right|+C}$　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=2x+3}$ より変数を$t$から$x$に戻した )

●備考

この公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$

を使ってもよい．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|2x+3\right|+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{x+4}{2x^2+11x+12}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日