不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2+6x+9}dx}}$

■答

${\displaystyle =-\frac{1}{x+3}+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2+6x+9}dx}}$

被積分関数を

${\displaystyle \frac{1}{x^2+6x+9}=\frac{1}{{\left(x+3\right)}^2}}$

と変形する．

${\displaystyle x+3=t}$ と置き，置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ →　 ${\displaystyle dx=dt}$

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t^2}dt}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int t^{-2}dt}}$

( ${\displaystyle x+3=t}$ ， ${\displaystyle dx=dt}$ を代入した)

${\displaystyle =\frac{1}{-2+1}{t}^{-2+1}+C}$ （ $C$ は積分定数）

（ヒントの公式(1)を参照）

${\displaystyle =-t^{-1}+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{t}+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{x+3}+C}$ （ $C$ は積分定数）

( ${\displaystyle x+3=t}$ より変数を $t$ から $x$ に戻した )

●備考

この公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$

を使ってもよい．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{x^2+6x+9}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2025年1月29日