不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int x\sqrt{3x^2-1}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{9}\left(3x^2-1\right)\sqrt{3x^2-1}+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int x\sqrt{3x^2-1}dx}}$

${\displaystyle 3x^2-1=t}$ と置き，置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=6x}$ 　→　${\displaystyle xdx=\frac{1}{6}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \sqrt{t}\cdot \frac{1}{6}dt}}$

(${\displaystyle 3x^2-1=t}$ , ${\displaystyle xdx=\frac{1}{6}dt}$ を代入した)

${\displaystyle =\frac{1}{6}{\displaystyle \int t^{\frac{1}{2}}}dt}$

（${\displaystyle \sqrt{t}}$ を累乗の形に変形した）

${\displaystyle =\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1}{t}^{\frac{1}{2}+1}+C}$　（$C$は積分定数）

(ヒントの式(1) を参照 )

${\displaystyle =\frac{1}{9}{t}^{\frac{3}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\left(3x^2-1\right)}^{\frac{3}{2}}+C}$

(${\displaystyle t=3x^2-1}$ より変数を$t$から$x$に戻した)

${\displaystyle =\frac{1}{9}\left(3x^2-1\right)\sqrt{3x^2-1}+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{9}\left(3x^2-1\right)\sqrt{3x^2-1}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \sqrt{3x^2-1}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日