定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{-3}^0\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$

■答

■解説動画

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${\displaystyle log2}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx}$ ${\displaystyle =log\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$ を求めておく．

ヒントの式(2)より

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$ ${\displaystyle =log\left|x+\sqrt{x^2+16}\right|+C}$

（これが　 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}}$ の原始関数である）

よって，(1)より

${\displaystyle {\int }_{-3}^0\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$ ${\displaystyle ={\left[log\left|x+\sqrt{x^2+16}\right|\right]}_{-3}^0}$

となる．

${\displaystyle =log\left|0+\sqrt{0+16}\right|}$ ${\displaystyle -log\left|-3+\sqrt{9+16}\right|}$

${\displaystyle =log\left|\sqrt{16}\right|-log\left|-3+\sqrt{25}\right|}$

${\displaystyle =log4-log2}$

${\displaystyle =log\frac{4}{2}}$

（ ${\displaystyle log4-log2=log\frac{4}{2}}$ については，対数計算の基本を参照 ）

${\displaystyle =log2}$

●別解

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{-3}^0\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-3}^0\frac{1}{4\sqrt{{\left(\frac{x}{4}\right)}^2+1}}dx}}$

${\displaystyle \frac{x}{4}=\tan \theta }$ とおき置換積分をする．ただし，${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$ ．

${\displaystyle x=4\tan \theta }$

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=4\cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{4}{{\cos }^2\theta }dt}$

$x$が$-3\to 0$ のとき，$\theta$ は${\theta }_1\to 0$ となる．ただし，${\displaystyle \tan {\theta }_1=-\frac{3}{4}}$ ．

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{{\theta }_1}^0\frac{1}{4\sqrt{{\left(\tan \theta \right)}^2+1}}\frac{4}{{\cos }^2\theta }d\theta }}$

${\displaystyle {\tan }^2\theta +1=\frac{1}{{\cos }^2\theta }}$ の関係を用いると

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{{\theta }_1}^0\sqrt{{\cos }^2\theta }\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta }}$

積分範囲では，$\cos \theta >0$ り，${\displaystyle \sqrt{{\cos }^2\theta }=\cos \theta }$ となる．よって

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{{\theta }_1}^0\frac{1}{\cos \theta }d\theta }}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{{\theta }_1}^0\frac{\cos \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta }}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{{\theta }_1}^0\frac{\cos \theta }{1-{\sin }^2\theta }d\theta }}$

さらに，$\sin \theta =t$ とおく置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{d\theta }=\cos \theta \to \cos \theta d\theta =dt}$

$\theta$ が${\theta }_1\to 0$のとき，$t$ は${\displaystyle -\frac{3}{5}\to \text{}0}$ となる．なぜなら，${\displaystyle \tan {\theta }_1=-\frac{3}{4}}$ のとき，${\displaystyle \sin {\theta }_1=-\frac{3}{5}}$ ．

よって

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\frac{3}{5}}^0\frac{1}{1-t^2}dt}}$

被積分関数を部分分数に分解すると

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\frac{3}{5}}^0\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[-\log \left|1-t\right|+\log \left|1+t\right|\right]}_{-\frac{3}{5}}^0}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\left(-0+0\right)-\log \frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-\log \frac{1}{4}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log 4}$

${\displaystyle =\log 2}$

　

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最終更新日： 2025年9月8日