定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{-3}^0\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$ 　

■答

${\displaystyle log2}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx}$${\displaystyle =log\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$ 　を求めておく．

ヒントの式(2)より

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$${\displaystyle =log\left|x+\sqrt{x^2+16}\right|+C}$ 　　

（これが　 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}}$ 　の原始関数である）

よって，(1)より

${\displaystyle {\int }_{-3}^0\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$${\displaystyle ={\left[log\left|x+\sqrt{x^2+16}\right|\right]}_{-3}^0}$ 　

となる．

${\displaystyle =log\left|0+\sqrt{0+16}\right|}$${\displaystyle -log\left|-3+\sqrt{9+16}\right|}$ 　

${\displaystyle =log\left|\sqrt{16}\right|-log\left|-3+\sqrt{25}\right|}$ 　

${\displaystyle =log4-log2}$ 　

${\displaystyle =log\frac{4}{2}}$ 　

（ ${\displaystyle log4-log2=log\frac{4}{2}}$ については，対数計算の基本を参照 ）

${\displaystyle =log2}$ 　

　

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最終更新日： 2023年11月23日