定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{3}}^2{8}^{x}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{62}{3log2}}$  　　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{loga}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ ${\displaystyle \int 8^{x}dx}$ を求めておく．

ヒントの式(2)より

${\displaystyle \int 8^{x}dx}$${\displaystyle =\frac{8^x}{log8}+C}$ 　　

${\displaystyle =\frac{2^{3x}}{log{2}^3}+C}$ 　　

（${\displaystyle 8^x=2^{3x}}$ 　（つまり　 ${\displaystyle 8=2^3}$　 ）は累乗を参照）

${\displaystyle =\frac{2^{3x}}{3log2}+C}$ 　　

（ ${\displaystyle log{2}^3=3log2}$ は対数計算の基本を参照．これが ${\displaystyle 8^x}$の原始関数である）

定積分の計算(ヒントの式(1))り

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{3}}^2{8}^{x}dx}$ 　 ${\displaystyle ={\left[\frac{2^{3x}}{3log2}\right]}_{\frac{1}{3}}^2}$ 　 　

となる．

${\displaystyle ={\left[\frac{2^{3x}}{3log2}\right]}_{\frac{1}{3}}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3log2}\left(2^{3\cdot 2}-2^{3\cdot \frac{1}{3}}\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3log2}\left(2^6-2^1\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3log2}\left(64-2\right)}$${\displaystyle =\frac{62}{3log2}}$ 　　

　

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最終更新日： 2023年11月24日