定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}}$  　　

■ヒント

定積分の基本式

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　 　

基本となる関数の積分

${\displaystyle \int cosxdx=sinx+C}$　　（$C$は積分定数）

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　　

（この積分を参考にするとよい）

${\displaystyle =sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)+C}$ 　　

（これが${\displaystyle cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)}$の原始関数である）

よって，定積分の計算(ヒントの式)より

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　 ${\displaystyle ={\left[sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}}$ 　 　

となる．

${\displaystyle =sin\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)-sin\left(-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}\right)}$${\displaystyle =sin\pi -sin\frac{\pi }{4}}$${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ 　　

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題 >>${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$

最終更新日： 2023年11月23日