基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle {\text{log}}_{\text{2}}81·{\text{log}}_{\text{3}}2}$

■答

${\displaystyle 4}$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■計算

${\displaystyle {log}_{2}81·{log}_{3}2}$${\displaystyle ={log}_2{3}^4·\frac{{log}_{2}2}{{log}_{2}3}}$${\displaystyle =4{log}_{2}3·\frac{1}{{log}_{2}3}}$${\displaystyle =4}$

■解説

これは対数どうしの掛け算である．式を簡単化するために，底の値を2に統一する．

${\displaystyle {log}_{2}81·{log}_{3}2={log}_{2}81·\frac{{log}_{2}2}{{log}_{2}3}}$

${\displaystyle {log}_{a}a=1}$ より

${\displaystyle {log}_{2}81·\frac{{log}_{2}2}{{log}_{2}3}={log}_{2}81·\frac{1}{{log}_{2}3}}$

真数を${\displaystyle a^r}$ の形に変形すると

${\displaystyle {log}_{2}81·\frac{1}{{log}_{2}3}={log}_2{3}^4·\frac{1}{{log}_{2}3}}$

${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の公式を適用すると

${\displaystyle {log}_2{3}^4·\frac{1}{{log}_{2}3}}$${\displaystyle =4{log}_{2}3·\frac{1}{{log}_{2}3}}$${\displaystyle =4}$

ゆえに

${\displaystyle {log}_{2}81·{log}_{3}2=4}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2024年10月31日