指数の大小関係の問題(2)

■問題

次の数を小さい方から順に並べよ.

2 , 3 3 , 5 5

■答

5 5 , 2 , 3 3

■解説

まず,与えられた数字を指数表示する.

2 = 2 1 2

3 3 = 3 1 3

5 5 = 5 1 5

この中から順に2つの数字の大小関係を調べていく.

a)  2 1 2 , 3 1 3 の大小関係を調べる.

両方の数を何乗かすることによって整数になるようにする.

いま,両方の数の指数は 1 2 , 1 3 であるので,2つの数を6乗する.

( 2 1 2 ) 6 = 2 1 2 ×6 = 2 3 =8

( 3 1 3 ) 6 = 3 1 3 ×6 = 2 2 =9

即ち, 2 1 2 , 3 1 3 を6乗根であらわすと

2 1 2 = 8 6

3 1 3 = 9 6

8 6 < 9 6 より

2 1 2 < 3 1 3

b)  3 1 3 , 5 1 5 の大小関係を調べる.

a)と同様に考え,両方の数を15乗すると

( 3 1 3 ) 15 = 3 1 3 ×15 = 3 5 =243

( 5 1 5 ) 15 = 5 1 5 ×15 = 5 3 =125

即ち, 3 1 3 , 5 1 5 を15乗根であらわすと

3 1 3 = 243 15

5 1 5 = 125 15

125 15 < 243 15 より

5 1 5 < 3 1 3

c)  2 1 2 , 5 1 5 の大小関係を調べる.

a)と同様に考え,両方の数を10乗すると

( 2 1 2 ) 10 = 2 1 2 ×10 = 2 5 =32

( 5 1 5 ) 10 = 5 1 5 ×10 = 5 2 =25

即ち, 2 1 2 , 5 1 5 を10乗根であらわすと

2 1 2 = 32 10

5 1 5 = 25 10

25 10 < 32 10 より

5 1 5 < 2 1 2

a),b),c)より

2 , 3 3 , 5 5 を小さい順に並べると

5 5 , 2 , 3 3

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年11月28日