指数の大小関係の問題（2）

■問題

次の数を小さい方から順に並べよ．

${\displaystyle \sqrt{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[5]{5}}$

■答

${\displaystyle \sqrt[5]{5},\sqrt{2},\sqrt[3]{3}}$

■解説

まず，与えられた数字を指数表示する．

${\displaystyle \sqrt{2}}$${\displaystyle =2^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle \sqrt[3]{3}}$${\displaystyle =3^{\frac{1}{3}}}$

${\displaystyle \sqrt[5]{5}}$${\displaystyle =5^{\frac{1}{5}}}$

この中から順に2つの数字の大小関係を調べていく．

a) ${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}},3^{\frac{1}{3}}}$ の大小関係を調べる．

両方の数を何乗かすることによって整数になるようにする．

いま，両方の数の指数は${\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{3}}$であるので，2つの数を6乗する．

${\displaystyle {\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^6}$${\displaystyle =2^{\frac{1}{2}\times 6}}$${\displaystyle =2^3}$${\displaystyle =8}$

${\displaystyle {\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^6}$${\displaystyle =3^{\frac{1}{3}\times 6}}$${\displaystyle =2^2}$$=9$

即ち，${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}},3^{\frac{1}{3}}}$を6乗根であらわすと

${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}}}$${\displaystyle =\sqrt[6]{8}}$

${\displaystyle 3^{\frac{1}{3}}}$${\displaystyle =\sqrt[6]{9}}$

${\displaystyle \sqrt[6]{8}<\sqrt[6]{9}}$ より

${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}}$

b) ${\displaystyle 3^{\frac{1}{3}},5^{\frac{1}{5}}}$の大小関係を調べる．

a)と同様に考え，両方の数を15乗すると

${\displaystyle {\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^{15}}$${\displaystyle =3^{\frac{1}{3}\times 15}}$${\displaystyle =3^5}$${\displaystyle =243}$

${\displaystyle {\left(5^{\frac{1}{5}}\right)}^{15}}$${\displaystyle =5^{\frac{1}{5}\times 15}}$${\displaystyle =5^3}$${\displaystyle =125}$

即ち，${\displaystyle 3^{\frac{1}{3}},5^{\frac{1}{5}}}$を15乗根であらわすと

${\displaystyle 3^{\frac{1}{3}}}$${\displaystyle =\sqrt[15]{243}}$

${\displaystyle 5^{\frac{1}{5}}}$${\displaystyle =\sqrt[15]{125}}$

${\displaystyle \sqrt[15]{125}<\sqrt[15]{243}}$ より

${\displaystyle 5^{\frac{1}{5}}<3^{\frac{1}{3}}}$

c) ${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}},5^{\frac{1}{5}}}$ の大小関係を調べる．

a)と同様に考え，両方の数を10乗すると

${\displaystyle {\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{10}}$${\displaystyle =2^{\frac{1}{2}\times 10}}$${\displaystyle =2^5}$${\displaystyle =32}$

${\displaystyle {\left(5^{\frac{1}{5}}\right)}^{10}}$${\displaystyle =5^{\frac{1}{5}\times 10}}$${\displaystyle =5^2}$${\displaystyle =25}$

即ち，${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}},5^{\frac{1}{5}}}$を10乗根であらわすと

${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}}}$${\displaystyle =\sqrt[10]{32}}$

${\displaystyle 5^{\frac{1}{5}}}$${\displaystyle =\sqrt[10]{25}}$

${\displaystyle \sqrt[10]{25}<\sqrt[10]{32}}$ より

${\displaystyle 5^{\frac{1}{5}}<2^{\frac{1}{2}}}$

a)，b)，c)より

${\displaystyle \sqrt{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[5]{5}}$ を小さい順に並べると

${\displaystyle \sqrt[5]{5},\sqrt{2},\sqrt[3]{3}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日