対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け．

${\displaystyle {log}_2(x-1)+{log}_{4}2<0}$

■答

${\displaystyle 1<x<\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

■計算

${\displaystyle {log}_2(x-1)+{log}_{4}2}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{{log}_{2}2}{{log}_{2}4}}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{{log}_{2}2}{{log}_2{2}^2}}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{{log}_{2}2}{2{log}_{2}2}}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{1}{2}}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)}$${\displaystyle <-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)}$${\displaystyle <-\frac{1}{2}{log}_{2}2}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)}$${\displaystyle <{log}_2{2}^{-\frac{1}{2}}}$

対数の底の数が${\displaystyle 2>1}$より

${\displaystyle (x-1)}$${\displaystyle <2^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle (x-1)}$${\displaystyle <\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}}$

${\displaystyle (x-1)}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{2}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

真数条件が${\displaystyle x>1}$より

${\displaystyle 1<x<\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

■解説

最初に，真数条件より

${\displaystyle x-1>0}$

すなわち

${\displaystyle x>1}$

次に与式を変形し，不等式の左辺と右辺が同じ底の対数になるようにする．

与式の対数が複数あり，底の値が同じでない．まず，対数の底を統一するために底の変換公式を用いる．

${\displaystyle {log}_{4}2}$${\displaystyle =\frac{{log}_{2}2}{{log}_{2}4}}$${\displaystyle =\frac{{log}_{2}2}{{log}_2{2}^2}}$

${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の公式にあてはめると

${\displaystyle {log}_{4}2=\frac{{log}_{2}2}{2{log}_{2}2}}$

次に${\displaystyle {log}_{a}a=1}$より

${\displaystyle {log}_{4}2=\frac{1}{2}}$

即ち，与式は

${\displaystyle {log}_2(x-1)+{log}_{4}2}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{1}{2}}$${\displaystyle <0}$　(変形部部を右辺に移項すると)

${\displaystyle {log}_2(x-1)}$${\displaystyle <-\frac{1}{2}}$

　

再度，公式${\displaystyle 1={log}_{a}a}$ ， ${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$を用いて

${\displaystyle {log}_2(x-1)<-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)<-\frac{1}{2}{log}_{2}2}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)<{log}_2{2}^{-\frac{1}{2}}}$

これで底の値を統一させることができた．

底の値２は２>１である．即ち，このグラフは単調増加であるので，対数の大小関係と，真数の大小関係は変化しない．

${\displaystyle x-1}$${\displaystyle <2^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}+1}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}+1}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1}$　（分母分子に${\displaystyle \sqrt{2}}$ を乗じて，有理化する．）

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{2}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

最初に求めた真数条件は，${\displaystyle x>1}$であるので，求める${\displaystyle x}$の範囲は

${\displaystyle 1<x<\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日