基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 3^{2x}>27}$

■答

${\displaystyle x>\frac{3}{2}}$

■計算

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >27}$

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >3^3}$

底が3(>1)より

${\displaystyle 2x}$${\displaystyle >3}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle >\frac{3}{2}}$

■解説

与式を見ると，右辺が$3$の倍数である．

また，左辺は底が$3$の指数を用いた数であるので，両辺を底が$3$の指数を用いた数に統一する．

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >27}$

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >3\times 3\times 3}$

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >3^3}$

与式は底が$3$の指数を用いた数に統一された．

底が３の指数関数は底が$1$より大きいので，グラフは単調増加である．

よって，与式の指数における大小関係は変化しない．

指数の関係式は次のようになる．

${\displaystyle 2x>3}$

ゆえに，求める不等式の解は

${\displaystyle x>\frac{3}{2}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日