対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け．

${\displaystyle {\left({\log }_{\frac{1}{2}}x\right)}^2-{\log }_{\frac{1}{2}}x<2}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}<x<2}$

■解き方

真数条件より

${\displaystyle x>0}$　･･････(1)

となる．

${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}x=X}$ とおく．

${\displaystyle X^2-X<2}$

${\displaystyle X^2-X-2<0}$

${\displaystyle \left(X-2\right)\left(X+1\right)<0}$

よって

${\displaystyle -1<X<2}$

${\displaystyle -1<{\log }_{\frac{1}{2}}x<2}$

${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}<{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)<{\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$

底の値${\displaystyle \frac{1}{2}}$ は，${\displaystyle 0<\frac{1}{2}<1}$ より，真数の大小関係は対数の大小関係と逆になる.

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}>x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle \frac{1}{4}<x<2}$　･･････(2)

(2)は(1)を満たす．

したがって

${\displaystyle \frac{1}{4}<x<2}$

となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日