基本的な指数方程式の問題

■問題

図は $y=3$ を漸近線とする指数関数のグラフである．グラフを表す関数の式を求めよ．

■答

$y=-6\cdot 2^x+3$

または

${\displaystyle y=-3\cdot 2^{x+1}+3}$

■ヒント

指数関数は一般的に

${\displaystyle y=c\cdot a^x+b}$　(指数関数の一般形)　･･････(1)

と表せることを用いる．

${\displaystyle y=a^x}$ グラフの漸近線は $x$ 軸である．よって，$y=c\cdot a^x$ のグラフの漸近線も $x$ 軸となる．

$y=c\cdot a^x+b$のグラフは，$y=c\cdot a^x$のグラフを$y$軸方向に$b$ 平行移動したものになる．

したがって，$y=c\cdot a^x+b$のグラフの漸近線は，$y=b$ となる．

■解き方

漸近線が $y=3$ より

$b=3$

が得られ，(1)は

${\displaystyle y=c\cdot a^x+3}$　･･････(2)

となる．

グラフが点$\left(0,-3\right)$ を通ることより

$-3=c\cdot a^0+3$ 　･･････(3)

グラフが点$\left(-1,0\right)$ を通ることより

$0=c\cdot a^{-1}+3$ 　･･････(4)

(3)，(4)を連立させて，$a$，$b$を求める.

(3)より

$-3=c\cdot 1+3$

$c=-6$　･･････(5)

が得られる．(5)を(4)に代入する．

$0=-6a^{-1}+3$

${\displaystyle \frac{6}{a}=3}$

$a=2$

となる.

以上より，グラフを表す指数関数の式は

$y=-6\cdot 2^x+3$　･･････(6)

となる．(6)は更に式変形をすることもできる．

${\displaystyle y=-6\cdot 2^x+3}$

${\displaystyle =-\left(3\cdot 2\right)\cdot 2^x+3}$

${\displaystyle =-3\cdot \left(2\cdot 2^x\right)+3}$

${\displaystyle =-3\cdot 2^{x+1}+3}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2024年9月3日