基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 3^{2x+1}>27\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x}}$

■答

${\displaystyle x>\frac{2}{3}}$

■ヒント

両辺が同じ底の形になるように，両辺に底が${\displaystyle 3}$ の対数を取る．ここで，底${\displaystyle 3}$は${\displaystyle 1}$ より大きいので対数をとっても不等号の向きは変わらないことに注意する．

${\displaystyle {\log }_3{3}^{2x+1}>{\log }_3\left(27\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x}\right)}$

${\displaystyle 2x+1>{\log }_{3}27+{\log }_3{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x}}$

${\displaystyle 2x+1>3+{\log }_3{3}^{-x}}$

あとは，${\displaystyle x}$ について不等式を解けばよい．

■解き方

両辺が同じ底の形になるように，両辺に底が${\displaystyle 3}$ の対数を取る．ここで，底${\displaystyle 3}$は${\displaystyle 1}$ より大きいので対数をとっても不等号の向きは変わらないことに注意する．

${\displaystyle {\log }_3{3}^{2x+1}>{\log }_3\left(27\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x}\right)}$

対数の性質より，左辺の真数の指数部分を対数の係数として前に出すと

${\displaystyle 2x+1>{\log }_3\left(27\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x}\right)}$

対数の性質より，右辺の式を和を用いた形にすると

${\displaystyle 2x+1>{\log }_{3}27+{\log }_3{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x}}$

上記と同様にして，右辺の真数の指数部分を対数の係数として前に出すと

${\displaystyle 2x+1>{\log }_{3}27+2x{\log }_3\frac{1}{\sqrt{3}}}$

${\displaystyle {\log }_{3}27=3}$ および${\displaystyle {\log }_3\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}}$ より，右辺を式変形すると

${\displaystyle 2x+1>3-x}$

与式を${\displaystyle x}$ について解くと

${\displaystyle x>\frac{2}{3}}$

となる．

別解として，与式の両辺を指数を用いた形にする．

${\displaystyle 3^{2x+1}>3^3\cdot {\left\{{\left(3\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}}^{2x}}$

指数法則より，右辺を計算すると

${\displaystyle 3^{2x+1}>3^{3-x}}$

底の$3$は$1$より大である．よって，指数同士を比較すると

${\displaystyle 2x+1>3-x}$

となる．上記の不等式を${\displaystyle x}$ について解いて

${\displaystyle x>\frac{2}{3}}$

としてもよい．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年11月10日