基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け．

${\displaystyle {log}_{5}2x=-1}$ 

■答

${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$ 

■ヒント

(1)${\displaystyle -1}$を底${\displaystyle 5}$の対数にする

(2)対数方程式を指数方程式に書き換えて解く(別解)

■計算

${\displaystyle {log}_{5}2x}$${\displaystyle =-1}$${\displaystyle =-{log}_{5}5}$${\displaystyle ={log}_5{5}^{-1}}$

${\displaystyle 2x}$${\displaystyle =5^{-1}}$${\displaystyle =\frac{1}{5}}$${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$

　 (真数条件，${\displaystyle x>0}$を満たしている )

■解説

最初に真数条件を確認する．

${\displaystyle 2x>0}$

すなわち

${\displaystyle x>0}$

方程式の右辺を底の値が$5$の対数に変換する．

${\displaystyle {log}_{5}2x}$${\displaystyle =-1}$${\displaystyle =-{log}_{5}5}$

となる．

${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$ の公式にあてはめると

${\displaystyle -{log}_{5}5}$ ${\displaystyle ={log}_5{5}^{-1}}$

与式は

${\displaystyle {log}_{5}2x}$ ${\displaystyle ={log}_5{5}^{-1}}$

と変形できる．(以下，対数方程式の解法の2を参照）

${\displaystyle 2x}$${\displaystyle =5^{-1}}$${\displaystyle =\frac{1}{5}}$${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$

(真数条件：${\displaystyle x>0}$ を満たしている)

 

(別解)

${\displaystyle {log}_{5}2x=-1}$

の関係を指数を用いて表すと(指数と対数の関係を参照)

${\displaystyle 5^{-1}=2x}$

${\displaystyle 2x=\frac{1}{5}}$

${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$

${\displaystyle 2x=2\times \frac{1}{10}=\frac{1}{5}>0}$

となり${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$ は真数条件を満たしている．

したがって

${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>指数／対数>>対数に関する問題>>基本的な対数方程式の問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日