因数分解

■問題

次の式を因数分解しなさい．

${\displaystyle 8x^2+6x-5}$

■答

${\displaystyle \left(2x-1\right)\left(4x+5\right)}$

■ヒント

たすきがけ手法を利用する．

■解き方

因数分解の基本公式より

${\displaystyle ac{x}^2+\left(ad+bc\right)x+bd=8x^2+6x-5}$

すなわち

${\displaystyle ac=8}$ ，${\displaystyle ad+bc=6}$ ，${\displaystyle bd=-5}$

であり，れを満たす${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$，${\displaystyle c}$，${\displaystyle d}$を求める．

${\displaystyle ac=8}$ を満たす整数${\displaystyle a}$，${\displaystyle c}$は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=8\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=2\\ c=4\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=4\\ c=2\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=-4\\ c=-2\end{array}}$

${\displaystyle bd=-5}$ を満たす整数${\displaystyle b}$，${\displaystyle d}$は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-1\\ d=5\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=1\\ d=-5\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=5\\ d=-1\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-5\\ d=1\end{array}}$

これをたすきがけ手法を用いて，${\displaystyle ad+bc=6}$ を満たすものを見つける．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=8\end{array}}$ ，${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-1\\ d=5\end{array}}$ のとき

となるので，失敗である．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=2\\ c=4\end{array}}$ ，${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-1\\ d=5\end{array}}$ のとき

となるので，成功である．

よって，${\displaystyle \{\begin{array}{cc}a=2& b=-1\\ c=4& d=5\end{array}}$ とすればよい．

したがって，${\displaystyle \left(ax+b\right)\left(cx+d\right)}$ に代入すると

${\displaystyle 8x^2+6x+5=\left(2x-1\right)\left(4x+5\right)}$

ホーム>>カテゴリー分類>>数と式>>問題演習>>因数分解

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年7月20日