因数分解

■問題

次の式を因数分解しなさい．

${\displaystyle x^2-x-72}$

■答

${\displaystyle \left(x+8\right)\left(x-9\right)}$

■ヒント

たすきがけ手法を利用する．

■解き方

因数分解の基本公式より

${\displaystyle ac{x}^2+\left(ad+bc\right)x+bd=x^2-x-72}$

すなわち

${\displaystyle ac=1}$ ，${\displaystyle ad+bc=-1}$ ，${\displaystyle bd=-72}$

であり，これを満たす${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$，${\displaystyle c}$，${\displaystyle d}$を求める．

${\displaystyle ac=1}$ を満たす整数${\displaystyle a}$，${\displaystyle c}$は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=1\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=-1\\ c=-1\end{array}}$

${\displaystyle bd=-72}$ を満たす整数${\displaystyle b}$，${\displaystyle d}$は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-8\\ d=9\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=8\\ d=-9\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=6\\ d=-12\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-6\\ d=12\end{array}}$

これをたすきがけ手法を用いて，${\displaystyle ad+bc=6}$ を満たすものを見つける．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=1\end{array}}$ ，${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-8\\ d=9\end{array}}$ のとき

となるので，失敗である．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=1\end{array}}$ ，${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=8\\ d=-9\end{array}}$ のとき

となるので，成功である．

よって，${\displaystyle \{\begin{array}{cc}a=1& b=8\\ c=1& d=-9\end{array}}$ とすればよい．

したがって，${\displaystyle \left(ax+b\right)\left(cx+d\right)}$ に代入すると

${\displaystyle x^2-x-72=\left(x+8\right)\left(x-9\right)}$

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最終更新日： 2023年7月20日