等差数列の一般項と和

■問題

次の数列の一般項${\displaystyle a_n}$ と初項から第15項までの和${\displaystyle S_{15}}$ を求めよ．

${\displaystyle 30,26,22,18,14,\cdot \cdot \cdot }$

■答

${\displaystyle a_n}$${\displaystyle =-4n+34}$

${\displaystyle S_{15}=30}$

■ヒント

等差数列の一般項の公式

${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$　(ただし，${\displaystyle a_1}$は初項，${\displaystyle d}$は公差)

を用いる．

次に初項から第15項までの和${\displaystyle S_{15}}$ は，等差数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{n\left\{2a_1+\left(n-1\right)d\right\}}{2}}$

を用いる．

■解き方

等差数列の一般項${\displaystyle a_n}$は

    ${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

である．

初項 ${\displaystyle a_1=30}$ ，公差 ${\displaystyle d=-4}$ より

${\displaystyle a_n}$${\displaystyle =30+\left(n-1\right)(-4)}$${\displaystyle =30-4n+4}$${\displaystyle =-4n+34}$

次に，等差数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{n\left\{2a_1+\left(n-1\right)d\right\}}{2}}$

より

${\displaystyle S_{15}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\times 15\left\{2\times 30+\left(15-1\right)\left(-4\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{15}{2}\left\{60+\left(14\right)\left(-4\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{15}{2}\left(60-56\right)}$

${\displaystyle =\frac{15}{2}\times 4}$

${\displaystyle =30}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日