等比数列の一般項と和

■問題

初項−3，公比−4の等比数列の一般項を求め， 初項から第6項までの和${\displaystyle S_6}$ を求めよ．

■答

$a_n=-3{\left(-4\right)}^{n-1}$

$S_6=2457$

■ヒント

一般項${\displaystyle a_n}$ は，等比数列の一般項の公式

$a_n=a_1{r}^{n-1}$

を用いて求める．

次に初項から第n項までの和${\displaystyle S_n}$ は，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}}$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 ${\displaystyle a_1=-3}$ ，公比${\displaystyle r=-4}$ であるから，その一般項 ${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n}$ ${\displaystyle =-3{\left(-4\right)}^{n-1}}$

(等比数列の一般項の公式 ${\displaystyle a_n=a_1{r}^{n-1}}$より)

次に，${\displaystyle n=6}$ であるから，初項から第6項までの和${\displaystyle S_6}$は

${\displaystyle S_6}$ ${\displaystyle =\frac{-3\left\{1-{\left(-4\right)}^6\right\}}{1-\left(-4\right)}}$

(等比数列の和の公式 ${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}}$より)

${\displaystyle =-\frac{3}{5}\left(1-4096\right)}$

${\displaystyle =-\frac{3}{5}\times \left(-4095\right)}$

${\displaystyle =2457}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日