等比数列の一般項と和

■問題

初項2，公比3の等比数列の一般項を求め， 初項から第9項までの和${\displaystyle S_9}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle a_n}$ ${\displaystyle =2\times 3^{n-1}}$

${\displaystyle S_9=19682}$

■ヒント

一般項${\displaystyle a_n}$ は，等比数列の一般項の公式

$a_n=a_1{r}^{n-1}$

を用いて求める．

次に初項から第n項までの和${\displaystyle S_n}$ は，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}}$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 ${\displaystyle a_1=2}$ ，公比${\displaystyle r=3}$ であるから，その一般項 ${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n}$ ${\displaystyle =2\times 3^{n-1}}$

(等比数列の一般項の公式 ${\displaystyle a_n=a_1{r}^{n-1}}$より)

次に，${\displaystyle n=9}$ であるから，初項から第9項までの和${\displaystyle S_9}$は

${\displaystyle S_9}$ ${\displaystyle =\frac{2\left(1-3^9\right)}{1-3}}$

(等比数列の和の公式 ${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}}$より)

${\displaystyle =\frac{2\left(1-19683\right)}{-2}}$

${\displaystyle =19682}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日