等比数列の和

■問題

等比数列   ${\displaystyle 7,14,28,56,112,\cdot \cdot \cdot }$ の初項から第8項までの和${\displaystyle S_8}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle S_8=1785}$

■ヒント

一般項${\displaystyle a_n}$ は，等比数列の一般項の公式

$a_n=a_1{r}^{n-1}$

を用いて求める．

次に初項から第$n$ 項までの和${\displaystyle S_n}$ は，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}}$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 ${\displaystyle a_1=7}$ ，公比${\displaystyle r=2}$ であるから，その一般項 ${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n}$ ${\displaystyle =7\times 2^{n-1}}$

( 等比数列の一般項の公式 ${\displaystyle a_n=a_1{r}^{n-1}}$より)

次に，${\displaystyle n=8}$ であるから，初項から第8項までの和 ${\displaystyle S_8}$は

${\displaystyle S_8}$ ${\displaystyle =\frac{7\times \left(2^8-1\right)}{2-1}}$

( 等比数列の和の公式 ${\displaystyle S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}}$より)

${\displaystyle =\frac{7\times \left(256-1\right)}{1}}$

${\displaystyle =7\times 255}$

${\displaystyle =1785}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月14日