等比数列の和

■問題

等比数列   ${\displaystyle 21,-7,\frac{7}{3},-\frac{7}{9},\frac{7}{27},\cdot \cdot \cdot }$ の初項から第6項までの和${\displaystyle S_6}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle S_6}$=${\displaystyle \frac{1274}{81}}$

■ヒント

一般項${\displaystyle a_n}$ は，等比数列の一般項の公式

$a_n=a_1{r}^{n-1}$

を用いて求める．

次に初項から第n項までの和${\displaystyle S_n}$ は，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}}$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 ${\displaystyle a_1=21}$ ，公比${\displaystyle r=-\frac{1}{3}}$ であるから，その一般項 ${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n}$ ${\displaystyle =21\times {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}$

( 等比数列の一般項の公式 ${\displaystyle a_n=a_1{r}^{n-1}}$より)

次に，${\displaystyle n=6}$ であるから，初項から第6項までの和${\displaystyle S_6}$は

${\displaystyle S_6}$ ${\displaystyle =\frac{21\left\{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^6\right\}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}}$

(等比数列の和の公式 ${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}}$より)

${\displaystyle =\frac{21\left(1-\frac{1}{729}\right)}{\frac{4}{3}}}$

${\displaystyle =\frac{21\times \frac{728}{729}\times 729\times 3}{\frac{4}{3}\times 3\times 729}}$

${\displaystyle =\frac{21\times 728\times 3}{4\times 729}}$

${\displaystyle =\frac{7\times 182}{81}}$

${\displaystyle =\frac{1274}{81}}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日