和の計算

■問題

次の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^4\left(2^k-3k\right)}$

■ヒント

左の項は，等比数列の一般項の形に変形する．
等比数列の和と考えて，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(r^n-1\right)}{r-1}}$

を用いて求める．

右の項は，和の公式

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}$

を用いて求める．

■答

${\displaystyle \sum _{k=1}^4\left(2^k-3k\right)}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^4{2}^k-3\sum _{k=1}^{4}k}$

${\displaystyle 2^k=2·2^{k-1}}$ と変換し，等比数列の一般項${\displaystyle a_n=a·r^{n-1}}$ の形にする．

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{4}2·2^{k-1}-3\sum _{k=1}^{4}k}$

等比数列と考えると${\displaystyle a_1=2,r=2}$である．上記の等比数列の和の公式 を適用する．

${\displaystyle =\frac{2\left(2^4-1\right)}{2-1}-3\times \frac{4\left(4+1\right)}{2}}$

${\displaystyle =30-30}$

${\displaystyle =0}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月14日