和の計算

■問題

次の和を求めよ．

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + \cdot \cdot \cdot + 2 n (2 n - 1)$

数列を和記号 $Σ$ を用いて表し，和の公式が使えるよう式変形する．

$\frac{1}{3} n (n + 1) (4 n - 1)$

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + \cdot \cdot \cdot + 2 n (2 n - 1)$

$\sum_{k = 1}^{n} 2 k (2 k - 1)$ $= \sum_{k = 1}^{n} (4 k^{2} - 2 k)$

$= 4 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{n} k$

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$ $= 4 \times \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - 2 \times \frac{n (n + 1)}{2}$

$= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{2 n (n + 1) \times 3}{2 \times 3}$

$= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{6 n (n + 1)}{6}$

$= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1) - 6 n (n + 1)}{6}$

$= \frac{2 n (n + 1) {2 (2 n + 1) - 3}}{6}$

$= \frac{1}{3} n (n + 1) {2 (2 n + 1) - 3}$

$= \frac{1}{3} n (n + 1) (4 n - 1)$

学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日