ベクトルの計算問題

■問題

点 $\text{OAB}$ において，線分 $\text{OA}$ を $2:1$ に内分する点を点 $\text{C}$ ， $\text{OB}$ を $4:1$ に外分する点を点 $\text{D}$ ， $\text{OB}$ を $1:2$ に内分する点を点 $\text{Ｅ}$ とする．線分 $\text{AE}$ と線分 $\text{CD}$ の交点を点 $\text{P}$ とする． ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{b}}$ とおくとき， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$ を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を用いて表せ．

■答

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}}$

■ヒント

問題文の内容を図に描く

線分をｍ：ｎに内分する点の位置ベクトルを参照

線分をｍ：ｎに外分する点の位置ベクトルを参照

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$ を2通りで表すことにする．

●1つ目

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AP}}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+s\overrightarrow{\text{AE}}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{\text{AE}}}$ （ ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}=s\overrightarrow{\text{AE}}}$ とおいている ， $s$ は定数）

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OE}}}$ ${\displaystyle =-\overrightarrow{\text{OA}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{OB}}}$ ${\displaystyle =-\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}}$

（∵点 $\text{E}$ が線分 $\text{OB}$ を ${\displaystyle 1:2}$ 内分することより ${\displaystyle \text{OE}:\text{BE}=1:2}$ ．よって， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OE}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{OB}}}$ ）

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{a}+s\left(-\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right)}$ ${\displaystyle =\left(1-s\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}s\overrightarrow{b}}$ ･･････(1)

●2つ目

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{DP}}}$ ${\displaystyle =\frac{4}{3}\overrightarrow{\text{OB}}+t\overrightarrow{\text{DC}}}$ ${\displaystyle =\frac{4}{3}\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\text{DC}}}$ （ ${\displaystyle \overrightarrow{\text{DP}}=t\overrightarrow{\text{DC}}}$ とおいている ， $t$ は定数）

${\displaystyle \overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{DO}}+\overrightarrow{\text{OC}}}$ ${\displaystyle =-\frac{4}{3}\overrightarrow{\text{OB}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =-\frac{4}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}}$

（∵点 $\text{D}$ が線分 $\text{OB}$ を ${\displaystyle 4:1}$ 外分することより ${\displaystyle \text{OD}:\text{BD}=4:1}$ ．よって， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OD}}=\frac{4}{3}\overrightarrow{\text{OB}}}$ ，
点 $\text{C}$ が線分 $\text{OA}$ を ${\displaystyle 2:1}$ 内分することより ${\displaystyle \text{OC}:\text{AC}=2:1}$ ．よって， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OC}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{OA}}}$ ）

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\frac{4}{3}\overrightarrow{b}+t\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{2}{3}t\overrightarrow{a}+\frac{4}{3}\left(1-t\right)\overrightarrow{b}}$ ･･････(2)

●(1)，(2)より

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}1-s={\displaystyle \frac{2}{3}t}･･････\text{(3)}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}s}={\displaystyle \frac{4}{3}}\left(1-t\right)･･････\text{(4)}\end{array}\right.}$

の連立方程式が得られる．

(4)の両辺を3倍する

${\displaystyle s=4\left(1-t\right)}$ ･･････(5)

(5)を(3)に代入する．

${\displaystyle 1-4\left(1-t\right)=\frac{2}{3}t}$

${\displaystyle -3+4t=\frac{2}{3}t}$

${\displaystyle \frac{10}{3}t=3}$

${\displaystyle t=\frac{9}{10}}$ ･･････(6)

(6)を(5)に代入する．

${\displaystyle s=4\left(1-\frac{9}{10}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{2}{5}}$ ･･････(7)

(7)を(1)に代入する．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\left(1-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}\overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}}$ ･･････(8)

確認のために，(6)を(2)に代入する．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{10}\overrightarrow{a}+\frac{4}{3}\left(1-\frac{9}{10}\right)\overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}}$ ･･････(9)

(8)，(9)より

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年10月22日