式の導出

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right)g\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g\left({D}\right) \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right) }\right}}$

■導出

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right)g\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)=y}$ 　･･････(1)

とおく．

(1)の関係を微分演算子 $3$\displaystyle{ f\left({D}\right)g\left({D}\right) }$ を使って表すと

$3$\displaystyle{f\left({D}\right)g\left({D}\right)y=F\left({x}\right)}$ 　･･････(2)

となる．

(2)を以下のように書きかえる．

$3$f\left({D}\right)\left{{ g\left({D}\right)y }\right}=F\left({x}\right)$ 　　(微分演算子の積を参照)

$3$\displaystyle{g\left({D}\right)y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)}$ 　　(逆演算子を参照を参照)

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g\left({D}\right) \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right) }\right}}$ 　･･････(3)

また，(2)は以下のように書きかえることもできる．

$3$\displaystyle{g\left({D}\right)f\left({D}\right)y=F\left({x}\right)}$ 　　(微分演算子の交換則を参照を参照)

$3$\displaystyle{g\left({D}\right)\left{{ f\left({D}\right)y }\right}=F\left({x}\right)}$ 　　(微分演算子の積を参照)

$3$\displaystyle{f\left({D}\right)y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)}$ 　　(逆演算子を参照を参照)

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right) }\right}}$ 　･･････(4)

(1)，(3)，(4)より

が成り立つ，

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最終更新日： 2024年10月7日