証明

2階定数係数同次微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+a{y}^{\prime }+by=0}$

の一般解は，特性方程式 $3$\displaystyle{{t}^{2}+at+b=0}$ の解によって以下のようになる

(1)実数解 $3$\displaystyle{\alpha }$ ， $3$\displaystyle{{\beta}}$ $3$\displaystyle{ $ \alpha \neq {\beta} $ }$ の場合

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\beta}x }}$

■証明

特性方程式が実数解 $3$\displaystyle{\alpha }$ ， $3$\displaystyle{{\beta}}$ をもつ場合，特性方程式 $3$\displaystyle{f $t$ }$ は

$3$\displaystyle{f $t$ = $ t- \alpha $ $ t- {\beta} $ }$

と表わせる．よって，微分演算子を用いると，2階定数係数同次微分方程式は

$3$\displaystyle{f $D$ y=0}$

$3$\displaystyle{ $ D- \alpha $ $ D- {\beta} $ y=0}$ ･･････(1)

となる．微分演算子の積となるので

$3$\displaystyle{ $ D- {\beta} $ y=z}$ ･･････(2)

とおくと，(1)を

$3$\displaystyle{ $ D- \alpha $ z=0}$

とすることができる．まず， $3$\displaystyle{z}$ を求める．

$3$\displaystyle{ $ D- \alpha $ \[ {e}^{ \alpha x }{e}^{ - \alpha x }z \] =0}$

ここで微分演算子の基本公式

$3$\displaystyle{f $D$ \[ {e}^{ \alpha x }y \] ={e}^{ \alpha x }f $ D+\alpha $ y}$ ･･････(3)　　⇒詳細

を利用すると，次のように変形できる．

$3$\displaystyle{{e}^{ \alpha x }D{e}^{ - \alpha x }z=0}$

$3$\displaystyle{D{e}^{ - \alpha x }z=0}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{ - \alpha x }z=0}$

この式から， $3$\displaystyle{{e}^{ - \alpha x }z}$ は定数なので， $3$\displaystyle{{e}^{ - \alpha x }z=\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}}$ とすると ( $3$\displaystyle{\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}}$ は任意定数)

$3$\displaystyle{z=\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}{e}^{ \alpha x }}$ ･･････(4)

となる．(4)を(2)に代入すると

$3$\displaystyle{ $ D- {\beta} $ y=\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}{e}^{ \alpha x }}$

$3$\displaystyle{ $ D- {\beta} $ {e}^{ {\beta}x }{e}^{ - {\beta}x }y=\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}{e}^{ \alpha x }}$

再び(3)公式を使うと

$3$\displaystyle{{e}^{ {\beta}x }D{e}^{ - {\beta}x }y=\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}{e}^{ \alpha x }}$

両辺を $3$\displaystyle{{e}^{ {\beta}x }}$ で割ると，

$3$\displaystyle{D{e}^{ - {\beta}x }y=\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}{e}^{ \alpha x }{e}^{ - {\beta}x }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{ - {\beta}x }y=\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}{e}^{ $ \alpha - {\beta} $ x }}$

ここで両辺を積分すると，

$3$\displaystyle{{e}^{ - {\beta}x }y=\displaystyle{ \int \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}{e}^{ $ \alpha - {\beta} $ x }dx }}$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \alpha - {\beta} \hspace{2}}{e}^{ $ \alpha - {\beta} $ x }+\hspace{1}{c}_{2} }$ ( $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}}$ は任意定数)

また，両辺を $3$\displaystyle{{e}^{ - {\beta}x }}$ で割ると

$3$\displaystyle{y= $ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \alpha - {\beta} \hspace{2}}{e}^{ \( \alpha - {\beta} $ x }+\hspace{1}{c}_{2} \) {e}^{ {\beta}x }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \alpha - {\beta} \hspace{2}}{e}^{ $ \alpha - {\beta} $ x }{e}^{ {\beta}x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\beta}x }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \alpha - {\beta} \hspace{2}}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\beta}x }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \alpha - {\beta} \hspace{2}}=\hspace{1}{c}_{1}}$ とおくと

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\beta}x }}$

よって，

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\beta}x }}$

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　最終更新日： 2024年5月17日